ベイズの定理を使ってPCR検査の理解を深めてみよう

本記事には不正確な情報が含まれている場合があります、問題があれば修正・削除しますので、ご指摘願います。

こんにちは、きっちゃん(@I_am_Entraineer)です。

新型コロナウイルスの感染拡大が続いており、外出を控えている方が多いかと思います。私もいつも行くジムが閉鎖になり、替わりに家や公園でトレーニングをやっています。環境が変化してストレスに感じることも多いかと思います。しかし長い人生ですので、1年2年そんな時期があっても仕方ないな！くらいの気持ちでのんびりトレーニングを続けられると良いですね。

新型コロナウイルスに罹患しているかどうか、PCR検査を利用しています。PCR検査について、わかりやすく書かれていた記事がありましたので、紹介いたします。

www.gohongi-clinic.com

PCR検査は特定の遺伝子(今回の場合は新型コロナウイルス)を増幅して、DNAが確認できれば陽性、確認できなければ陰性と判定するようです。増幅させるには、目的の病原体のDNA配列にくっつけられるプライマー(短いDNA)が必要なようです。新しいウイルスですから、これにくっつけられるプライマーも新たに検証されたものと考えられます。このあたりの経緯が国立感染症研究所に掲載されており、また病原体検出マニュアルPDFも公表されています。

www.niid.go.jp

検査手法の整備自体が最近なされたことが書かれれおり、現場の苦労が感じられます。

さてこの新型コロナウイルスに関するPCR検査は、精度がそれほど高くないことで有名です。感染者が検査を受けて陽性結果が出る確率を「感度」と言いますが、感度は70%程度とのことです。

www.mod.go.jp

PCR検査を受けて陰性と判定されたとしても、「感染していない」とは言い切れないようです。ではこの言い切れない程度はどの程度なんでしょうか？これは、今たまたま勉強していた統計学でよく出てくる問題のようでして、「ベイズの定理」を使えば求められるようです。今回はこの「ベイズの定理」を使って計算してみたいと思います。

ベイズの定理とは？

ベイズの定理の詳細は以下をご確認ください。

bellcurve.jp

簡単に言うと、「事前確率と事後確率は違う」ということです。。。いやわかんないですよね。

もっと簡単な例えがあったので紹介すると、電車で隣に座っていた人が「かつらを被っている確率」が30%(事前確率)だとしたとき、「生え際が不自然」という情報が加わると「かつらを被っている確率」は70%(事後確率)まで高まるよね？ということだそうです。つまり状況によって確率が変化するということを示していて、この考え方がはやりの機械学習にも応用しているようです。

PCR検査が陽性で感染者である確率は？

ベイズの定理の式は以下のようになっています。

展開して以下のように使われることが多いようです。

わかりやすいように、それぞれの確率が何に相当するか以下に示します。

・事象A：PCR検査の検査結果。A1が陽性、A2が陰性
・事象B：感染者かどうか。B1が感染者、B2が非感染者
・P(B1|A)：PCR検査が陽性で感染者である確率
・P(A|B1)：感染者がPCR検査が陽性となる確率
・P(A|B2)：非感染者がPCR検査が陽性となる確率

これを式に当てはめると、以下のようになります。

このことから、「PCR検査が陽性で感染者である確率」は、「感染者である確率」の影響を受けることがわかります。

思考実験してみよう

上記を利用して、色々仮定をした実験をしてみたいと思います。PCR検査の感度(感染者が陽性になる確率)は70%、特異度(非感染者が陰性になる確率)は99%としましょう。2020/4/9時点でPCR検査で陽性になった人は4667人だそうです。これは検査を受けた方だけですので、どうでしょう、エイヤで実際にコロナウイルスに罹患している人数は10倍の5万人としましょうか。では日本人1.2億人が全員検査したとするとどうなるでしょうか？

項目	記号	[CASE1] 日本人全員が検査対象
検査対象者	---	120,000,000
罹患者	---	50,000
罹患率	---	0.04%
感染者である確率	P(B1)	0.04%
感染者でない確率	P(B2)	99.96%
感染者がPCR検査が陽性となる確率	P(A|B1)	70.00%
感染者がPCR検査が陰性となる確率	P(Ac|B1)	30.00%
非感染者がPCR検査が陽性となる確率	P(A|B2)	1.00%
非感染者がPCR検査が陰性となる確率	P(Ac|B2)	99.00%
PCR検査が陽性で感染者である確率	P(B1|A)	2.84%
PCR検査が陰性で感染者である確率	P(B1|Ac)	0.01%

全然精度があがりません。やたら滅多に検査をしても、感染者だけを抽出することは困難であることがわかります。

では、検査対象を絞ってみます。厚生労働省のHPを見ると、PCR検査実施人数は約6万人とあります。陽性患者の大体10倍くらいの人数が検査を受けているようです。ということで、感染者数5万人に対して、「コロナっぽいな」と感じた50万人が検査を受けたとしましょう。

項目	記号	[CASE2] コロナっぽい人 50万人が検査対象
検査対象者	---	500,000
罹患者	---	50,000
罹患率	---	10.00%
感染者である確率	P(B1)	10.00%
感染者でない確率	P(B2)	90.00%
感染者がPCR検査が陽性となる確率	P(A|B1)	70.00%
感染者がPCR検査が陰性となる確率	P(Ac|B1)	30.00%
非感染者がPCR検査が陽性となる確率	P(A|B2)	1.00%
非感染者がPCR検査が陰性となる確率	P(Ac|B2)	99.00%
PCR検査が陽性で感染者である確率	P(B1|A)	88.61%
PCR検査が陰性で感染者である確率	P(B1|Ac)	3.26%

全然精度が違います。PCR検査の感度以上に陽性患者を抽出できており、検査を有効活用できているように感じます。それでも10％の方は陰性なのに陽性判定を受けます。陽性判定を受けたからには患者は入院せざるを得ず、感染者がたくさんいる場所に収容されるわけです。判定を受けた時点では非感染者であったとしても、隔離されているとはいえ、感染者が多くいる場所で過ごすとどうなりますでしょうか。何となく想像できますよね。

おわりに

申し訳ありませんが私は統計学の初学者ですし、感染症の専門家でもありません。ですからこの考察が正しいかどうかもわからず、デマになるかもしれない不安があります。ただ、「どんどんPCR検査を増やすべきだ！」とか、「簡易キットで調べて安心した」と話す方が見かけられたので、ちょっとでも考えるヒントになればと思い記事にしました。参考になれば幸いです。